三角函数所有公式表，全面解析，三角函数公式汇总表

三角函数公式表摘要：，本表包含三角函数的基本公式，包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的定义、基本关系式、倍角公式、半角公式、和差公式、积化和差公式、和差化积公式等，这些公式是解析几何和三角学的基础，广泛应用于数学各个领域。

用户提问：请问能否给我一个三角函数所有公式的详细列表，方便我复习和查阅？

回答：当然可以！三角函数是数学中非常重要的一部分，掌握它们的公式对于解决各种数学问题至关重要，下面，我将为你详细列出三角函数的所有公式，并从不同的角度进行解析。

一：三角函数的基本公式

1. 正弦函数（sin）：表示直角三角形中对边与斜边的比值。

   
   • 公式：sin(θ) = 对边 / 斜边
   • 应用：在直角三角形中，已知一个角度和斜边长度，可以求出对边的长度。

2. 余弦函数（cos）：表示直角三角形中邻边与斜边的比值。

   • 公式：cos(θ) = 邻边 / 斜边
   • 应用：在直角三角形中，已知一个角度和斜边长度，可以求出邻边的长度。

3. 正切函数（tan）：表示直角三角形中对边与邻边的比值。

   • 公式：tan(θ) = 对边 / 邻边
   • 应用：在直角三角形中，已知一个角度和邻边长度，可以求出对边的长度。

4. 余切函数（cot）：正切函数的倒数。

   • 公式：cot(θ) = 1 / tan(θ) = 邻边 / 对边
   • 应用：在直角三角形中，已知一个角度和对边长度，可以求出邻边的长度。

5. 正割函数（sec）：余弦函数的倒数。

   • 公式：sec(θ) = 1 / cos(θ) = 斜边 / 邻边
   • 应用：在直角三角形中，已知一个角度和邻边长度，可以求出斜边的长度。

二：三角函数的诱导公式

1. sin(π - θ) = sin(θ)

   
   • 解释：当角度θ旋转到π - θ的位置时，其正弦值与θ的正弦值相同。

2. cos(π - θ) = -cos(θ)

   • 解释：当角度θ旋转到π - θ的位置时，其余弦值变为θ的余弦值的相反数。

3. tan(π - θ) = -tan(θ)

   • 解释：当角度θ旋转到π - θ的位置时，其正切值变为θ的正切值的相反数。

4. sin(π/2 - θ) = cos(θ)

   • 解释：当角度θ旋转到π/2 - θ的位置时，其正弦值与θ的余弦值相同。

5. cos(π/2 - θ) = sin(θ)

   • 解释：当角度θ旋转到π/2 - θ的位置时，其余弦值与θ的正弦值相同。

三：三角函数的倍角公式

1. sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

   
   • 解释：正弦函数的倍角公式，表示角度θ的正弦值是其两倍角正弦值的两倍。

2. cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)

   • 解释：余弦函数的倍角公式，表示角度θ的余弦值是其两倍角余弦值的平方减去正弦值的平方。

3. tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))

   • 解释：正切函数的倍角公式，表示角度θ的正切值是其两倍角正切值的两倍除以1减去正切值的平方。

4. sin²(θ) + cos²(θ) = 1

   • 解释：三角恒等式，表示任何角度的正弦值的平方加上余弦值的平方等于1。

5. 1 + tan²(θ) = sec²(θ)

   • 解释：三角恒等式，表示1加上正切值的平方等于正割值的平方。

四：三角函数的和差公式

1. sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

   • 解释：两个角度和的正弦值等于它们各自正弦值和余弦值的乘积之和。

2. cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)

   • 解释：两个角度和的余弦值等于它们各自余弦值和正弦值的乘积之差。

3. sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

   • 解释：两个角度差的正弦值等于它们各自正弦值和余弦值的乘积之差。

4. cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

   • 解释：两个角度差的余弦值等于它们各自余弦值和正弦值的乘积之和。

5. tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 - tan(α)tan(β))

   • 解释：两个角度和的正切值等于它们各自正切值之和除以1减去它们各自正切值的乘积。

五：三角函数的反函数公式

1. arcsin(x) = θ，其中sin(θ) = x且θ在[-π/2, π/2]范围内

   • 解释：反正弦函数的反函数，表示在指定范围内，正弦值等于x的角度。

2. arccos(x) = θ，其中cos(θ) = x且θ在[0, π]范围内

   • 解释：反余弦函数的反函数，表示在指定范围内，余弦值等于x的角度。

3. arctan(x) = θ，其中tan(θ) = x且θ在(-π/2, π/2)范围内

   • 解释：反正切函数的反函数，表示在指定范围内，正切值等于x的角度。

4. arcsec(x) = θ，其中sec(θ) = x且θ在[0, π/2) ∪ (π/2, π]范围内

   • 解释：反正割函数的反函数，表示在指定范围内，正割值等于x的角度。

5. arccot(x) = θ，其中cot(θ) = x且θ在(0, π/2) ∪ (π/2, π)范围内

   • 解释：反余切函数的反函数，表示在指定范围内，余切值等于x的角度。

就是三角函数所有公式的详细解析,希望对你有所帮助！

其他相关扩展阅读资料参考文献：

基本定义与单位圆

1. 三角函数的定义
   三角函数是直角三角形中边角关系的数学表达，包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）和余割（csc），其核心公式为：
   sinθ = 对边/斜边，cosθ = 邻边/斜边，tanθ = 对边/邻边，这些定义适用于角度θ在0到90度的锐角三角形,但通过单位圆可拓展到任意角度。

2. 单位圆的几何意义
   单位圆是半径为1的圆，用于定义三角函数的值域和周期性，在单位圆中，sinθ对应y坐标，cosθ对应x坐标，tanθ对应y/x的比值，单位圆将三角函数从直角三角形推广到所有实数角度,成为理解周期性和对称性的基础工具。

3. 三角函数的定义域与值域

• sinθ和cosθ的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]。
• tanθ的定义域为θ ≠ π/2 + kπ（k为整数），值域为全体实数。
• cotθ的定义域为θ ≠ kπ，值域为全体实数。
  这些限制源于三角函数在特定角度时的分母为零或无定义。

基本公式与恒等式

1. 诱导公式与角度转换
   诱导公式用于将任意角度转换为0到π/2范围内的等效角，
   sin(π - α) = sinα，cos(π - α) = -cosα，tan(π - α) = -tanα,掌握这些公式可简化复杂角度的计算。

2. 同角三角函数关系
   同角关系揭示了同一角度下不同三角函数的关联，核心公式包括：
   sin²θ + cos²θ = 1（毕达哥拉斯恒等式），1 + tan²θ = sec²θ，1 + cot²θ = csc²θ,这些公式是推导其他恒等式的基础。

3. 和差公式与角的组合
   和差公式用于计算两个角度的和或差的三角函数值，
   sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB,这些公式在解三角方程和证明恒等式时至关重要。

图像与周期性

1. 三角函数图像特征

• 正弦函数（y = sinx）图像呈波浪形，周期为2π，最大值1，最小值-1。
• 余弦函数（y = cosx）图像与正弦函数相似，但相位差π/2，周期同样为2π。
• 正切函数（y = tanx）图像在π/2处有渐近线，周期为π,奇函数特性明显。

2. 周期性与函数重复规律
   三角函数的周期性决定了其图像的重复频率，
   sin(x + 2π) = sinx，cos(x + π) = cosx，tan(x + π) = tanx，周期性是分析波动现象（如声波、光波）的关键。

3. 奇偶性与对称性

• 正弦函数是奇函数，满足sin(-θ) = -sinθ。
• 余弦函数是偶函数，满足cos(-θ) = cosθ。
• 正切函数也是奇函数，tan(-θ) = -tanθ,这些性质帮助快速判断函数值的符号。

三角函数的变换公式

1. 相位变换与水平平移
   相位变换公式为y = sin(x + φ)或y = cos(x + φ)，控制图像的水平平移。φ > 0时图像向左移动，φ < 0时向右移动。

2. 振幅变换与垂直缩放
   振幅变换公式为y = A·sinx或y = A·cosx，其中A为振幅系数，当A > 1时图像被垂直拉伸，当0 < A < 1时被压缩,A的绝对值影响最大值和最小值的大小。

3. 周期变换与水平缩放
   周期变换公式为y = sin(Bx)或y = cos(Bx)，其中B控制周期长度，当B > 1时周期缩短为2π/B，当0 < B < 1时周期延长。B = 2时，sin(2x)的周期为π。

应用实例与实际问题

1. 几何计算中的应用
   三角函数在解三角形问题中不可或缺，例如利用正弦定理（a/sinA = b/sinB = c/sinC）和余弦定理（c² = a² + b² - 2ab·cosC）求解边长或角度。

2. 物理中的波动与振动
   在物理中，三角函数用于描述简谐运动（如弹簧振子、单摆），其位移随时间变化的公式为x(t) = A·sin(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。

3. 工程中的信号处理
   信号处理领域广泛应用三角函数的傅里叶变换，将复杂信号分解为正弦和余弦函数的叠加。傅里叶级数公式为：
   x(t) = a₀/2 + Σ(aₙ·cos(nωt) + bₙ·sin(nωt))，其中aₙ和bₙ为傅里叶系数。

4. 导航与测量中的应用
   在航海和航空导航中，三角函数用于计算距离和方位角，利用正弦函数计算两点间距离：d = a·sinθ，其中a为已知边长，θ为夹角。

5. 数学建模与周期性现象
   三角函数可建模周期性现象，如昼夜变化、季节波动，温度变化模型为T(t) = T₀ + A·sin(ωt + φ)，其中T₀为平均温度，A为振幅，ω为周期频率。

三角函数公式是数学、物理、工程等领域的核心工具，掌握其定义、基本恒等式、图像性质、变换规律及实际应用，能显著提升问题解决能力。单位圆是理解三角函数本质的桥梁，基本公式是推导复杂问题的基石，图像变换则是动态分析的关键，而实际应用则展现了其在现实中的强大生命力，通过系统梳理这些内容，可以构建完整的三角函数知识体系,为后续学习打下坚实基础。